新型游動(dòng)坐標(biāo)法及其在復(fù)雜形狀刀具數(shù)控磨削中的應(yīng)用

作者： 2013年07月22日 來源： 瀏覽量：
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圖1復(fù)雜形狀刀具幾何模型1引言鉆頭、螺旋槽立銑刀等復(fù)雜形狀刀具的功能表面(如前刀面、后刀面等)往往具有球形螺旋面、變導(dǎo)程螺旋面等復(fù)雜形狀。為滿足刀具的設(shè)計(jì)要求，以圓錐球頭立銑刀為代表的復(fù)雜形狀刀具需要在數(shù)
    

圖1 復(fù)雜形狀刀具幾何模型

1 引言

鉆頭、螺旋槽立銑刀等復(fù)雜形狀刀具的功能表面(如前刀面、后刀面等)往往具有球形螺旋面、變導(dǎo)程螺旋面等復(fù)雜形狀。為滿足刀具的設(shè)計(jì)要求，以圓錐球頭立銑刀為代表的復(fù)雜形狀刀具需要在數(shù)控工具磨床上實(shí)現(xiàn)數(shù)控磨削成形。
本文通過對(duì)復(fù)雜形狀刀具幾何角度和CNC磨削工藝的研究，提出一種新的游動(dòng)坐標(biāo)系刀位計(jì)算方法(簡(jiǎn)稱新型游動(dòng)坐標(biāo)法)。應(yīng)用該方法可方便地進(jìn)行復(fù)雜形狀刀具數(shù)控磨削的刀位計(jì)算，并可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜形狀刀具幾何角度的精確磨削。

2 新型游動(dòng)坐標(biāo)系的建立

在數(shù)控磨削過程中，砂輪的空間位置(刀位)需由其中心位置(X，Y，Z)及姿態(tài)角(F，q)來確定。目前常用的刀位計(jì)算方法是以刀刃曲線及刀具法前角等設(shè)計(jì)參數(shù)作為控制砂輪運(yùn)動(dòng)的依據(jù)，根據(jù)磨削過程中滿足刀具被磨削表面要求的砂輪與工件間的空間相對(duì)位置關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，同時(shí)綜合考慮數(shù)控磨床的運(yùn)動(dòng)配置、運(yùn)動(dòng)參數(shù)以及計(jì)算過程的精確性和簡(jiǎn)潔性。
建立游動(dòng)坐標(biāo)系的刀位計(jì)算方法是目前較為有效的刀位計(jì)算方法，該方法是以刀刃線上的點(diǎn)作為原點(diǎn)建立游動(dòng)坐標(biāo)系，根據(jù)刀具的設(shè)計(jì)參數(shù)(如前角、后角、刀槽深度等)確定該點(diǎn)處砂輪與工件間的空間相對(duì)位置關(guān)系，即確定砂輪中心及其軸線向量在游動(dòng)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，并結(jié)合機(jī)床的運(yùn)動(dòng)配置，經(jīng)過一系列坐標(biāo)變換得到砂輪在機(jī)床坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)及姿態(tài)，從而獲得砂輪刀位。
建立一個(gè)合適的游動(dòng)坐標(biāo)系是應(yīng)用該刀位計(jì)算方法的關(guān)鍵。在此游動(dòng)坐標(biāo)系中，必須能方便、準(zhǔn)確地確定加工過程中砂輪的位置與姿態(tài)，以便簡(jiǎn)潔地計(jì)算出正確的刀位。同時(shí)，在加工過程中，此游動(dòng)坐標(biāo)系必須能光滑連續(xù)地變化，以保證加工出光滑的刀具特征表面。目前主要采用刃線在加工點(diǎn)Ci處的Frenet標(biāo)架作為游動(dòng)坐標(biāo)系，即三個(gè)坐標(biāo)軸分別為刃線在該點(diǎn)的切向量Ti、主法向量Nci和副法向量Bci。
在圖1所示復(fù)雜形狀刀具幾何模型中，顯示了回轉(zhuǎn)曲面刀體S及刀體上刃線C，設(shè)Ci為正在加工的刃點(diǎn)。圖中所示工件坐標(biāo)系Op-XpYpZp的原點(diǎn)Op位于工件(即被加工刀具)的回轉(zhuǎn)軸線上。在該坐標(biāo)系中，刀具外形曲面可表示為
S(u，v)=｛x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)｝(u，v)∈D (1)
曲面S上的曲線可表示為
C(t)= S( u(t)，v(t))=｛x(t)，y(t)，z (t)｝ t∈(t0，tn) (2)
則C上任意點(diǎn)Ci可表示為
C(ti)=｛x(ti)，y(ti)，z (ti)｝( i = 0，1，2，…，n) (3)
采用刃線在加工點(diǎn)Ci處的Frenet標(biāo)架作為游動(dòng)坐標(biāo)系，則活動(dòng)標(biāo)架的數(shù)學(xué)表達(dá)式為
(4)
顯然，建立這種游動(dòng)坐標(biāo)系時(shí)，僅考慮了空間刃形曲線的特征，并未涉及包容刃形曲線的刀具外形曲面特征。而在磨削過程中需保證的刀具幾何角度不僅與刀刃曲線有關(guān)，同時(shí)也與刀具外形表面有關(guān)。復(fù)雜形狀刀具的幾何角度包括前角、后角、刃傾角等。前角在法剖面內(nèi)測(cè)量(即法前角)；后角在端剖面(及主剖面)內(nèi)測(cè)量；刃傾角由刀具刃形線決定。其中，前角對(duì)刀具切削性能影響最大，對(duì)加工要求也最高(一般具有等前角要求)；后角的主要作用是減小切削過程中刀具后刀面與加工表面間的摩擦，后角的大小同時(shí)影響刀刃強(qiáng)度及刀具耐用度。
設(shè)Ni為刀具外形曲面在Ci點(diǎn)的法向量，垂直于曲面在該點(diǎn)的切平面；對(duì)于空間回轉(zhuǎn)曲面而言，通過Ci點(diǎn)、方向向量為Ni的直線必然與回轉(zhuǎn)曲面的軸線相交。向量Bi為Ti與Ni的叉積。
根據(jù)切削刀具角度的定義，對(duì)于刀體為回轉(zhuǎn)表面的復(fù)雜形狀刀具，刀刃上一點(diǎn)Ci處的法前角和法后角在法剖面Pn內(nèi)測(cè)量，法剖面Pn通過Ci點(diǎn)且垂直于切向量Ti，切削平面Ps為刀具外形表面在該點(diǎn)的切平面，Ps⊥Ni；基面Pr為點(diǎn)Ci與刀具軸線所確定的平面，因Ni所在直線與刀具軸線相交，因此Ni位于基面Pr內(nèi)，且與Ps和Pr的交線重合。因此，Ci點(diǎn)刀刃的法前角gn、法后角an分別為法剖面Pn內(nèi)刀刃前刀面和第一后刀面的截形在刃點(diǎn)處的切線與Ni、Bi之間的夾角(見圖1)。
由微分幾何可知，一個(gè)空間曲面上一點(diǎn)的切平面只有一個(gè)，該切平面垂直于空間曲面在該點(diǎn)的主法向量Ni。對(duì)于回轉(zhuǎn)面刀具，刀體表面上一點(diǎn)的切平面即為通過該點(diǎn)的切削平面。由于通過一條空間曲線上一點(diǎn)的切平面有一族，因此只有當(dāng)?shù)毒咄庑吻鏋閳A柱面時(shí)，F(xiàn)renet標(biāo)架所確定的從切平面(CiTiBi坐標(biāo)平面)才與切削平面重合。在此情況下，根據(jù)刀具角度來確定砂輪在游動(dòng)坐標(biāo)系中的姿態(tài)才是合理的，而對(duì)于其它回轉(zhuǎn)表面(如錐面、球面等)的刀具，僅根據(jù)刀具角度來確定砂輪在游動(dòng)坐標(biāo)系中的姿態(tài)則并不合適。另一方面，為得到連續(xù)光滑的前刀面，首先必須保證加工過程中游動(dòng)坐標(biāo)系沿刀刃曲線運(yùn)動(dòng)的平滑性。由式(4)可知，F(xiàn)renet標(biāo)架沿刀刃曲線運(yùn)動(dòng)的平滑性條件為刃形曲線C必須具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。而對(duì)于復(fù)雜形狀刀具(如圓錐球頭立銑刀)，由球頭部分和圓錐部分的刃形曲線組成的空間曲線僅為一階連續(xù)曲線，因此采用Frenet標(biāo)架無法得到平滑變化的游動(dòng)坐標(biāo)系。可想而知，在這種坐標(biāo)系中確定砂輪姿態(tài)而獲得的加工結(jié)果是難以滿足設(shè)計(jì)要求的。
由此可見，采用刃線的Frenet標(biāo)架作為游動(dòng)坐標(biāo)系具有一定局限性，并不適合外形曲面為非圓柱面及組合表面的回轉(zhuǎn)表面復(fù)雜形狀刀具的加工。
針對(duì)這種情況，在加工復(fù)雜形狀刀具時(shí)，應(yīng)綜合考慮刀具外形曲面和刃形曲線的特征，建立一種新型游動(dòng)坐標(biāo)系。
根據(jù)上述分析，遵循加工基準(zhǔn)與測(cè)量基準(zhǔn)一致的原則，可選取基面Pr、切削平面Ps及法剖面Pn作為游動(dòng)坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)平面。由于這三個(gè)平面的交線分別與向量Ti、Ni和Bi重合，因此向量Ti、Ni和Bi即為游動(dòng)坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸(坐標(biāo)軸方向見圖1)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為
(5)
式(5)表示的新型游動(dòng)坐標(biāo)系具有以下特點(diǎn)：
  1. 可精確保證刀具角度的設(shè)計(jì)要求。由于加工基準(zhǔn)與測(cè)量基準(zhǔn)一致，游動(dòng)坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)平面即為測(cè)量刀具角度的測(cè)量平面和輔助平面，砂輪在游動(dòng)坐標(biāo)系中的位置及姿態(tài)可由刀具幾何角度和其它設(shè)計(jì)參數(shù)直接確定，在加工過程中不發(fā)生干涉或干涉區(qū)域不影響刀刃鄰域的前提下，被加工刀具的幾何角度可完全滿足設(shè)計(jì)要求。
  2. 具有很好的連續(xù)性。由式(5)可知，只要刃形曲線和刀具外形表面具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則游動(dòng)坐標(biāo)系的變化便是連續(xù)的。

3 砂輪在活動(dòng)標(biāo)架中的位置及姿態(tài)

在數(shù)控磨削過程中，砂輪的位置及姿態(tài)可通過其軸線上某一固定點(diǎn)G(如砂輪一個(gè)端面的圓心)和砂輪軸單位向量I來確定。為此，必須首先確定砂輪在游動(dòng)坐標(biāo)系中的位置及姿態(tài)，即砂輪輪心和砂輪軸單位矢量I在游動(dòng)坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表達(dá)式。設(shè)砂輪在活動(dòng)標(biāo)架中的位置與姿態(tài)表達(dá)式為
g=gTiTi+gNiNi+gBiBi
I=ITiTi+INiNi+IBiBBi		 (6)
確定砂輪在活動(dòng)標(biāo)架中的位置及姿態(tài)需考慮以下幾方面因素：
  1. 磨削方式：主要指選用何種形式的砂輪以及用砂輪上哪一個(gè)(或幾個(gè))表面進(jìn)行磨削加工。復(fù)雜形狀刀具數(shù)控磨削所采用的砂輪形狀一般有圓柱形、碟形、碗形等，且同一種砂輪在不同磨削方式中用于磨削加工的表面也不同(如采用碟形砂輪時(shí)可選擇其錐面或砂輪周邊進(jìn)行磨削)。因此，采用不同磨削方式將直接影響磨削過程中的砂輪姿態(tài)。
  2. 刀具參數(shù)：影響磨削過程中砂輪姿態(tài)的刀具參數(shù)包括刀具的結(jié)構(gòu)參數(shù)(刀齒、刀槽等的形狀及尺寸)和幾何角度(前角、后角等)，這些參數(shù)在刀具設(shè)計(jì)時(shí)提出，是確定磨削過程中砂輪姿態(tài)的重要參數(shù)。
  3. 不發(fā)生干涉的條件：在復(fù)雜形狀刀具的數(shù)控磨削過程中，刀具的功能表面是由砂輪按特定軌跡運(yùn)動(dòng)所形成的包絡(luò)面。由于砂輪尺寸遠(yuǎn)大于被加工刀具尺寸，磨削加工表面(如刀具的溝槽、棱角等)的尺寸則更小，因此在磨削過程中往往會(huì)出現(xiàn)砂輪磨削表面與刀具加工表面之間、砂輪非磨削表面與刀具相鄰刀齒之間的干涉現(xiàn)象。為避免干涉發(fā)生，需對(duì)磨削過程中砂輪的姿態(tài)作一定的調(diào)整。

4 刀位計(jì)算過程

砂輪在游動(dòng)坐標(biāo)系中的位置及姿態(tài)確定后，根據(jù)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)配置，可按以下步驟進(jìn)行刀位計(jì)算：
  1. 將在活動(dòng)標(biāo)架Ci-TiNiBi中砂輪輪心G和砂輪軸單位向量I的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為工件坐標(biāo)系Op-XpYpZp中的坐標(biāo)，即

g=gTiTi+gNiNi+gBiBi = gxpXp+gypYp+gzpZp
I=ITiTi+INiNi+IBiBi=IxpXp+IypYp+IzpZp
(gxp，gyp，gzp)=(gTi，gNi，gBi)R+Ci
(Ixp，Iyp，Izp)=(Iti，Ini，IBi)R		 (7)

式中，Ci為刃點(diǎn)Ci在工件坐標(biāo)系中的向量表示，其轉(zhuǎn)換矩陣為

R= [ Txi Tyi Tzi ]
Nxi Nyi Nzi
Bxi Byi Bzi



圖2 刀體刃線上各點(diǎn)的新型游動(dòng)標(biāo)架

圖3 刀體刃線上各點(diǎn)的Frenet標(biāo)架

圖4 砂輪在游動(dòng)坐標(biāo)系中的位置及姿態(tài)
 
(a) (b)
圖5 仿真加工及實(shí)際磨削效果

  1. 旋轉(zhuǎn)工件及其坐標(biāo)系Op-XpYpZp，使砂輪軸單位向量I 與機(jī)床砂輪軸平行，并計(jì)算出旋轉(zhuǎn)角度fRTci及工件坐標(biāo)系Op-XpYpZp旋轉(zhuǎn)后G點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系Op-XYZ中的坐標(biāo)值：
    (gxi，gyi，gzi)=(gxp，gyp，gzp)M (8)
    式中，M為工件坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換矩陣，與機(jī)床的運(yùn)動(dòng)配置有關(guān)。
  2. 在機(jī)床坐標(biāo)系Op-XYZ中，砂輪上G0點(diǎn)坐標(biāo)值與G點(diǎn)坐標(biāo)值的差值即為機(jī)床各直線軸在加工Ci點(diǎn)時(shí)移動(dòng)的絕對(duì)值。
    機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)角度為
    RT=fRTci (9)
    式中，RT表示機(jī)床的某個(gè)旋轉(zhuǎn)軸(如軸A、B、C等)。
    機(jī)床各直線運(yùn)動(dòng)軸的絕對(duì)位移為
    { X=gxi-g0x
    Y=gyi-g0y
    Z=gzi-g0z
    		 (10)
    機(jī)床各運(yùn)動(dòng)軸移動(dòng)的相對(duì)位移值為在加工點(diǎn)Ci及前一刃點(diǎn)時(shí)所分別得到的G點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系Op-XYZ中的坐標(biāo)值之差。

5 計(jì)算實(shí)例

根據(jù)上述刀位計(jì)算方法，以一種等螺旋角、等前角的圓錐球頭立銑刀為例進(jìn)行數(shù)控磨削過程的刀位計(jì)算，采用圓環(huán)形砂輪進(jìn)行前刀面磨削。
圖2所示為刀體刃線上各點(diǎn)的新型游動(dòng)標(biāo)架。由圖可見，該游動(dòng)標(biāo)架無論在錐面、球面還是在兩種曲面的交接處均具有很好的連續(xù)性。而圖3所示刀體刃線上各點(diǎn)的Frenet標(biāo)架在球頭與錐體的交接處明顯不連續(xù)。
采用圓環(huán)形砂輪磨削圓錐球頭立銑刀前刀面時(shí)，可根據(jù)刀具的設(shè)計(jì)法前角來確定砂輪在活動(dòng)標(biāo)架中的姿態(tài)(如圖4所示)。經(jīng)驗(yàn)證，砂輪與工件之間保持該位置關(guān)系可保證刀具的設(shè)計(jì)法前角。
采用新型游動(dòng)坐標(biāo)系刀位計(jì)算方法的仿真磨削效果如圖5a所示，在磨床上加工的刀具模型見圖5b。由圖可見，采用該刀位計(jì)算方法，圓錐球頭立銑刀的前刀面通過一次走刀即可完成加工，并可獲得光滑連續(xù)的螺旋形前刀面。
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