物理所等在數(shù)值模擬中發(fā)現(xiàn)相互作用導(dǎo)致的陳絕緣體

　　無相互作用拓?fù)浣^緣體的研究已然汗牛充棟，對于描述這些拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)的拓?fù)洳蛔兞浚缋p繞數(shù)、陳數(shù)、Z2不變量等，人們在理論和實(shí)驗(yàn)上都了解得比較清楚。相比之下，對于相互作用下拓?fù)湮飸B(tài)的性質(zhì)和分類，則有太多問題懸而未決。電子相互作用所引入的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，一方面使得體系本身變得復(fù)雜，另一方面卻往往可以產(chǎn)生更加豐富的物理現(xiàn)象。其中一個(gè)比較普遍的思路，就是電子相互作用可以使體系進(jìn)入非平庸的拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)，如相互作用導(dǎo)致的陳絕緣體或者具有拓?fù)湫虻淖孕后w態(tài)。這方面的猜測性研究不少，但是通過定量的數(shù)值方法，結(jié)合理論分析，確定性地找到相互作用所導(dǎo)致的拓?fù)湮飸B(tài)，這樣的研究并不多見。

　　中國科學(xué)院物理研究所/北京凝聚態(tài)國家實(shí)驗(yàn)室T03組副研究員孟子楊、方辰與中國人民大學(xué)博士研究生鄔漢青、何院耀和教授盧仲毅組成的團(tuán)隊(duì)，在相互作用導(dǎo)致陳絕緣體態(tài)的數(shù)值計(jì)算方面取得了進(jìn)展[1]。該團(tuán)隊(duì)提出了一種針對弱耦合區(qū)域相互作用導(dǎo)致的拓?fù)湮飸B(tài)的通用診斷方案。利用嚴(yán)格對角化方法給出的本征值及本征波函數(shù)，結(jié)合點(diǎn)群操作算符的本征值和關(guān)聯(lián)函數(shù)信息，分析出體系熱力學(xué)極限的序參量對稱性和基態(tài)可能的拓?fù)鋽?shù)。根據(jù)這一方案，該團(tuán)隊(duì)第一次從數(shù)值上給出了棋盤格子上具有最近鄰排斥相互作用的無自旋費(fèi)米子模型中存在由相互作用導(dǎo)致陳絕緣體的支持性證據(jù)。這個(gè)工作最近發(fā)表在美國物理學(xué)會(huì)的《物理評論快報(bào)》（Physical Review Letters）上。

　　如圖1.(a) 所示，棋盤格子模型哈密頓量具有最近鄰躍遷和兩種交錯(cuò)排列的次近鄰躍遷。在無相互作用時(shí)，上下兩條能帶在布里淵區(qū)的M點(diǎn)上有一個(gè)二次型的接觸點(diǎn)(quadratic band crossing point, QBCP) [圖1.(b) 所示]。這個(gè)二次型接觸點(diǎn)受到C4點(diǎn)群和時(shí)間反演的共同保護(hù)。如果破壞時(shí)間反演并保持C4旋轉(zhuǎn)對稱性，例如加入圖1.(a) 中綠色箭頭所示的環(huán)路電流（這類似于在近鄰片 (plaquette) 內(nèi)加入交錯(cuò)磁通，但體系總磁通量保持為零），體系會(huì)在M點(diǎn)直接打開單粒子能隙，進(jìn)入具有非零陳數(shù)的陳絕緣體態(tài)，系統(tǒng)有整數(shù)化的量子霍爾電導(dǎo)和手征邊界態(tài)。反過來，如果加入保持時(shí)間反演但破壞C4對稱性的交錯(cuò)在位勢能項(xiàng)，那么QBCP就會(huì)分裂成兩個(gè)狄拉克點(diǎn)反向地往X點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)?shù)依它c(diǎn)在X點(diǎn)相遇時(shí)，打開能隙。

　　在這個(gè)模型中加入最近鄰排斥相互作用，單圈重整化群分析認(rèn)為[2]，QBCP在相互作用下是不穩(wěn)定性的，具有手征邊緣態(tài)。而該研究團(tuán)隊(duì)的數(shù)值結(jié)果確實(shí)發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在熱力學(xué)極限下，在弱相互作用區(qū)域就是一種由相互作用誘導(dǎo)自發(fā)產(chǎn)生電流環(huán)路的陳絕緣體態(tài)；該態(tài)破壞時(shí)間反演，具有手征邊界態(tài)；而強(qiáng)相互作用區(qū)域則是一種電荷重新分布的格點(diǎn)向列序(site-nematic order)絕緣體，該態(tài)破壞C4晶體點(diǎn)群對稱性。圖1.(c) 給出了系統(tǒng)在相互作用下的完整相圖。

　　圖2.(a) 展示了系統(tǒng)最低的四個(gè)本征能量隨相互作用的變化情況。在 Vc / t ≈ 2.8處能級(jí)出現(xiàn)交叉。在交叉前，能級(jí)具有兩重簡并，互為時(shí)間反演共軛對的兩重簡并基態(tài)波函數(shù)構(gòu)成C4點(diǎn)群二維不可約表示的基函數(shù)，對應(yīng)C4操作的本征值為±i (見表1, V

　　而在強(qiáng)相互作用區(qū)域，有限尺寸體系的兩個(gè)近簡并基態(tài)構(gòu)成C4點(diǎn)群的一維表示。它們所攜帶的陳數(shù)可以通過基態(tài)波函數(shù)對邊界纏繞相位的線性響應(yīng)計(jì)算得到。該團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)它們的陳數(shù)都為零 (見表1，V>Vc)，在拓?fù)渖鲜瞧接沟膽B(tài)。而它們的C4本征值符號(hào)相反，但是C2操作算符的本征值相同。兩個(gè)相同陳數(shù)的態(tài)在熱力學(xué)極限下可以線性組合，那么強(qiáng)相互作用區(qū)域的熱力學(xué)極限態(tài)應(yīng)該是一種破壞C4對稱性但保留C2對稱性的一種絕緣體態(tài)。通過A和B子格電荷密度差的結(jié)構(gòu)因子的計(jì)算，該團(tuán)隊(duì)確認(rèn)了這種絕緣體相是破壞C4對稱性的格點(diǎn)向列序型絕緣體。

　　從領(lǐng)域的發(fā)展來看，2008年S. Raghu 等人首先給出了蜂巢晶格上可能存在相互作用導(dǎo)致陳絕緣體的理論預(yù)言[4]。然而近幾年來，這一個(gè)猜想受到了不少理論和數(shù)值研究的質(zhì)疑，相互作用導(dǎo)致陳絕緣體并沒有被發(fā)現(xiàn)。這是因?yàn)槎S系統(tǒng)的狄拉克點(diǎn)在弱短程電子-電子相互作用下是穩(wěn)定的，所以無質(zhì)量的狄拉克費(fèi)米子能夠在一個(gè)有限的臨界相互作用前存在。超出了弱耦合區(qū)域，平均場和單圈重整化群方案的結(jié)果是不可靠的，其他可能的長程序與陳絕緣體相強(qiáng)烈競爭。而在工作 [1] 中，相互作用導(dǎo)致陳絕緣體被成功發(fā)現(xiàn)，這是因?yàn)楣ぷ?[1] 研究的模型具有二次型接觸的能帶，費(fèi)米面處有有限的態(tài)密度，短程相互作用是略微相關(guān)的，而且QBCP的動(dòng)態(tài)臨界因子z=2，也就是QBCP點(diǎn)處低能有效維度為d+z=4。根據(jù)朗道-金茲堡判據(jù)，平均場分析結(jié)果是可靠的，該團(tuán)隊(duì)通過嚴(yán)格對角化數(shù)值結(jié)果和點(diǎn)群操作算符的本征值和關(guān)聯(lián)函數(shù)信息進(jìn)行分析，成功地確認(rèn)了相互作用導(dǎo)致陳絕緣體，推動(dòng)了相互作用拓?fù)湮飸B(tài)領(lǐng)域繼續(xù)向前發(fā)展。此外，該團(tuán)隊(duì)發(fā)展的數(shù)值診斷方案（嚴(yán)格對角化數(shù)和點(diǎn)群操作算符的本征值分析）是通用的，可以推廣到其他體系的弱耦合區(qū)域相互作用導(dǎo)致的拓?fù)淞孔游飸B(tài) (例如量子自旋霍爾絕緣體，p+ip超導(dǎo)等) 的探測中。

　　這項(xiàng)工作得到了國家青年千人計(jì)劃、科技部國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（方辰、孟子楊），國家自然科學(xué)基金和國家基礎(chǔ)科學(xué)研究計(jì)劃（鄔漢青、何院耀、孟子楊、盧仲毅）的支持。嚴(yán)格對角化方法所需的并行計(jì)算在中國人民大學(xué)物理系高性能并行計(jì)算物理實(shí)驗(yàn)室、中科院物理所量子科學(xué)模擬中心、國家超級(jí)計(jì)算廣州中心天河2號(hào)等計(jì)算平臺(tái)上完成。

　　[1] H. -Q. Wu, Y. -Y. He, C. Fang, Z. Y. Meng and Z. –Y. Lu, Phys. Rev. Lett. 117, 066403 (2016).

　　[2] K. Sun, H. Yao, E. Fradkin, and S. A. Kivelson, Phys. Rev. Lett. 103, 046811 (2009).

　　[3] C. Fang, M. J. Gilbert, and B. A. Bernevig, Phys. Rev. B 86, 115112 (2012).

　　[4] S. Raghu, X.-L. Qi, C. Honerkamp, and S.-C. Zhang, Phys. Rev. Lett. 100, 156401 (2008).

　　圖1. (a) 具有C4對稱性的16個(gè)格點(diǎn)的棋盤格子。a1和a2為原胞基矢，t, t', t'' 為最近臨和次近鄰躍遷。(b) 無相互作用模型的能帶圖。二維情況下的二次型接觸點(diǎn)貢獻(xiàn)出有限的態(tài)密度。(c) 棋盤格子上相互作用模型的基態(tài)相圖，V 是相互作用參數(shù)。

表1. 16個(gè)格點(diǎn)有限團(tuán)簇計(jì)算的多體本征態(tài)的對稱性質(zhì)。SSB表示自發(fā)對稱性破缺。

　　圖2. (a) 嚴(yán)格對角化方法計(jì)算的16個(gè)格點(diǎn)模型的最低的四個(gè)本征能量隨相互作用改變情況，(b) 單粒子能隙和多體能隙隨相互作用的變化。

圖3. 環(huán)路電流結(jié)構(gòu)因子 (a) 和格點(diǎn)向列序結(jié)構(gòu)因子 (b) 隨著相互作用和系統(tǒng)尺寸的變化情況。