一種高精度的圓分度測(cè)量原理

　　在圓分度測(cè)量系統(tǒng)中，目前多采用平均讀數(shù)原理來(lái)提高測(cè)量精度，其基本方法是通過(guò)在度盤圓周上均布多個(gè)讀數(shù)頭，利用平均讀數(shù)有規(guī)律地消除讀數(shù)中的部分諧波誤差。但這種方法存在一定局限性，一是讀數(shù)中仍然殘留讀數(shù)頭個(gè)數(shù)整數(shù)倍的讀數(shù)諧波誤差，使測(cè)量精度難以進(jìn)一步提高（尤其當(dāng)讀數(shù)頭個(gè)數(shù)較少時(shí)）；二是應(yīng)用平均讀數(shù)原理提高圓分度測(cè)量系統(tǒng)精度必須建立在多個(gè)讀數(shù)頭的特性完全一致的前提下，這就必然增加圓分度測(cè)量系統(tǒng)的制造難度和制造成本（尤其當(dāng)讀數(shù)頭個(gè)數(shù)較多時(shí)）。
　　本文提出一種可有效提高圓分度測(cè)量系統(tǒng)精度的新的測(cè)量原理。實(shí)際測(cè)量證明，應(yīng)用本原理的圓分度測(cè)量系統(tǒng)精度高于采用平均讀數(shù)原理的圓分度測(cè)量系統(tǒng)，同時(shí)還具有測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、測(cè)量易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。
　　2．基本原理

　　應(yīng)用本測(cè)量原理的圓分度測(cè)量系統(tǒng)如圖1所示。被測(cè)度盤2與標(biāo)準(zhǔn)度盤1同軸安裝，它們可繞共同的回轉(zhuǎn)中心O作同步轉(zhuǎn)動(dòng)或相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，讀數(shù)頭3、4分別對(duì)標(biāo)準(zhǔn)度盤進(jìn)行細(xì)分讀數(shù)，瞄準(zhǔn)顯微鏡5實(shí)現(xiàn)對(duì)被測(cè)度盤的瞄準(zhǔn)。測(cè)量時(shí)，首先相對(duì)移動(dòng)兩度盤，使瞄準(zhǔn)顯微鏡瞄準(zhǔn)被測(cè)度盤的“0”刻線時(shí)讀數(shù)4的讀數(shù)為0，并設(shè)定此時(shí)主軸回轉(zhuǎn)角度為0。當(dāng)主軸回轉(zhuǎn)角度為θ時(shí)，瞄準(zhǔn)顯微鏡瞄準(zhǔn)被測(cè)度盤的θ_i刻線，讀數(shù)頭4、3的讀數(shù)分別為a_i，b_i，在圓周上測(cè)得N組數(shù)據(jù)（θ_i，a_i，b_i）（i＝0，1，2，…，N-1）。

1．標(biāo)準(zhǔn)度盤　2．被測(cè)度盤　
3，4．讀數(shù)頭　5．瞄準(zhǔn)顯微鏡
圖

　　圓分度測(cè)量系統(tǒng)存在三種主要誤差：標(biāo)準(zhǔn)度盤的刻劃誤差、主軸晃動(dòng)誤差和度盤的安裝偏心誤差，它們均會(huì)引起讀數(shù)頭的讀數(shù)誤差，所以讀數(shù)頭3、4的讀數(shù)中實(shí)際包含了被測(cè)度盤的刻劃誤差Δ_i和上述三種主要誤差引起的讀數(shù)誤差，其中讀數(shù)誤差是一以2π為周期的函數(shù)誤差。若以f（θ）表示此周期函數(shù)誤差，則有

則讀數(shù)頭4的讀數(shù)為

若測(cè)量過(guò)程中按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，由于讀數(shù)頭3的位置與讀數(shù)頭4相差β角，故讀數(shù)頭3的讀數(shù)同樣包含讀數(shù)誤差，只是在相位上超前了β角，則有

　　在讀數(shù)信號(hào)（a_i，b_i）中，不能直接分離出被測(cè)度盤的刻劃誤差Δ_i，如果將讀數(shù)頭3的讀數(shù)減去讀數(shù)頭4的讀數(shù)，得到綜合信號(hào)d_i為

經(jīng)過(guò)適當(dāng)處理后有

綜合信號(hào)d_i消除了被測(cè)度盤的刻劃誤差Δ_i，只包含測(cè)量系統(tǒng)的讀數(shù)誤差。d_i也是一周期為2π的諧波函數(shù)信號(hào)，故可應(yīng)用信號(hào)分析技術(shù)對(duì)d_i進(jìn)行譜分析。若圓周上的讀數(shù)個(gè)數(shù)為N時(shí)，利用FT分析可分離出d_i中的前N／2階諧波誤差，即

從而可得到前N／2階諧波的幅值和相位（D_k，ψ_k）。比較式（5）和式（6），可得讀數(shù)頭的讀數(shù)諧波誤差信號(hào)的幅值和相位（A_k，φ_k）與（D_k，ψ_k）的關(guān)系為

則被測(cè)度盤的刻劃誤差為

　　式（8）即為被測(cè)度盤的測(cè)量結(jié)果。為了有效地分離出讀數(shù)誤差中的前N／2階諧波誤差，必須合理確定讀數(shù)頭3、4之間的夾角β。β的確定原則是盡可能避免kβ／2＝jπ（k＝1，2，…，N／2，j為整數(shù)）。見(jiàn)式（5），當(dāng)kβ／2jπ時(shí)，sin（kβ／2）＝0，信號(hào)d_i中將不包含第k階諧波誤差，對(duì)d_i進(jìn)行FT分析時(shí)就不能分離出第k階諧波誤差信號(hào)的幅值和相位（A_k，φ_k），則在式（8）中將包含讀數(shù)誤差的第k階諧波誤差的影響，使測(cè)量結(jié)果的精度下降。例如，當(dāng)N＝24時(shí)，可取β＝56°或β＝62°，但切不可取β＝60°，因?yàn)楫?dāng)k＝6時(shí)，kβ／2＝180°，d_i中將不含第6階諧波信號(hào)，在式（8）中只能消除1～5階和7～12階諧波誤差，殘留了第6階諧波誤差，從而影響測(cè)量結(jié)果的精度。

　　3．?dāng)?shù)據(jù)處理流程和測(cè)量結(jié)果比對(duì)

　　依據(jù)上述原理，數(shù)據(jù)處理流程如下
　?。?FONT face="Times New Roman">1）在圓周上獲得N組測(cè)量數(shù)據(jù)（θ_i，a_i，b_i）（i＝0，1，2，…，N-1）；
　?。?FONT face="Times New Roman">2）求出綜合信號(hào)d_i＝b_i－a_i（i＝0，1，2，…，N-1）；
　　（3）調(diào)用FT譜分析軟件，獲得綜合信號(hào)d_i中前N／2階諧波的幅值和相位（D_k，ψ_k）（k＝1，2，…，N／2）；
　?。?FONT face="Times New Roman">4）按式（7）分離出讀數(shù)諧波誤差的幅值和相位（A_k，φ_k）（k＝1，2，…，N／2）；
　?。?FONT face="Times New Roman">5）按式（8）修正讀數(shù)頭4的讀數(shù)中的前N／2階諧波誤差，得到被測(cè)度盤的刻劃誤差值Δ_i（i＝0，1，2，…，N-1）；
　?。?FONT face="Times New Roman">6）被測(cè)度盤的零起刻線誤差為_i＝Δ_i－Δ₀（i＝0，1，2，…，N-1），最大間距誤差為f＝max（Δ_i）－min（Δ_i）（i＝0，1，2，…，N-1）。
　　為驗(yàn)證本文提出的圓分度測(cè)量原理分離和修正測(cè)量系統(tǒng)讀數(shù)諧波誤差的有效性，筆者分別進(jìn)行了采用本測(cè)量原理和采用平均讀數(shù)原理的模擬測(cè)量計(jì)算，并對(duì)二者進(jìn)行比較。設(shè)對(duì)一已知零起刻線誤差真值的標(biāo)準(zhǔn)度盤進(jìn)行測(cè)量，給定測(cè)量系統(tǒng)讀數(shù)誤差的各階諧波幅值和相位（A_k，φ_k）（k＝0，1，2，…，17），對(duì)度盤圓周上均布的N＝24個(gè)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量。采用本測(cè)量原理的兩讀數(shù)頭3、4之間的夾角β＝56°。應(yīng)用平均讀數(shù)原理的模擬測(cè)量采用圓周上均布5個(gè)讀數(shù)頭的讀數(shù)方式。讀數(shù)頭4、3的讀數(shù)值（a_i，b_i）、被測(cè)標(biāo)準(zhǔn)度盤零起刻線誤差真值_io以及采用兩種原理的誤差計(jì)算結(jié)果列于下表（因篇幅所限，未列出平均讀數(shù)原理5個(gè)讀數(shù)頭的讀數(shù)值）。
　　由表可知，與采用平均讀數(shù)原理的測(cè)量結(jié)果pi相比，采用本測(cè)量原理得出的測(cè)量結(jié)果_i更接近于被測(cè)度盤零起刻線誤差真值_oi，其最大間距誤差結(jié)果也更接近于被測(cè)度盤真值。由此可見(jiàn)，本測(cè)量原理能有效分離和修正圓分度測(cè)量系統(tǒng)的讀數(shù)諧波誤差，其測(cè)量精度高于均布5個(gè)讀數(shù)頭的平均讀數(shù)原理測(cè)量方法。理論上，本測(cè)量原理能消除全部前N／2＝12階諧波讀數(shù)誤差，而平均讀數(shù)原理只能消除非讀數(shù)頭個(gè)數(shù)整數(shù)倍的各階諧波讀數(shù)誤差（1、2、3、4、6、7、8、9、11、12階），而殘留了讀數(shù)頭個(gè)數(shù)整數(shù)倍的各階諧波讀數(shù)誤差（5、10階）。由于隨著諧波階數(shù)的增高（k＞15），讀數(shù)諧波誤差的幅值將減小到10^－2秒數(shù)量級(jí)，因此可認(rèn)為本測(cè)量原理基本上可以完全消除讀數(shù)諧波誤差。

表　原始數(shù)據(jù)和計(jì)算結(jié)果　　　　　　　　　（單位：秒）

序號(hào)	度盤零起刻線 誤差真值oi	原始數(shù)據(jù)		度盤零起刻線誤差計(jì)算結(jié)果
		讀數(shù)頭4讀數(shù)值ai	讀數(shù)頭3讀數(shù)值bi	本測(cè)量原理i	平均讀數(shù)原理pi
0	0．00	0．00	-0．90	0．00	0．00
1	0．50	2．96	-0．92	-0．11	0．94
2	1．20	2．89	2．94	1．03	0．53
3	（-0．70）	-0．96	-0．45	（-1．19）	（-1．93）
4	1．00	-0．48	1．09	0．84	0．95
5	2．80	2．20	3．65	2．20	2．85
6	（3．60）	5．58	5．08	（3．62）	（4．08）
7	2．60	2．11	0．93	1．79	1．48
8	3．20	3．90	-0．95	3．35	2．32
9	1．80	2．69	-1．43	1．03	1．76
10	0．90	1．92	2．55	0．84	1．03
11	2．20	-0．16	0．41	1．65	2．61
12	1．60	-3．19	2．48	1．45	0．15
13	1．40	-0．02	2．77	0．87	0．87
14	2．20	3．28	2．32	1．96	2．16
15	0．80	-0．97	3．63	0．48	1．03
16	0．60	2．22	3．43	0．16	0．78
17	1．50	2．30	2．42	1．21	-0．08
18	-0．20	-0．16	-0．72	-0．53	-0．47
19	0．40	3．53	0．90	0．01	0．37
20	-0．70	1．89	-1．27	-1．00	-0．36
21	-0．50	-0．44	0．44	-0．95	-0．70
22	0．20	0．21	2．65	0．08	-1．29
23	0．80	0．77	0．62	0．11	0．68