求解齒輪齒廓誤差的新算法

    坐標(biāo)法測(cè)量漸開(kāi)線(xiàn)齒廓通常分為直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法兩種。直角坐標(biāo)法的主要特點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)其測(cè)量原理的儀器結(jié)構(gòu)較簡(jiǎn)單，且兩個(gè)互相垂直的長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)量的測(cè)量范圍不大，既易于保證精度，又易于制造。利用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)等通用量?jī)x，也能方便地測(cè)出齒輪實(shí)際齒廓的直角坐標(biāo)值（x_i，y_i），通過(guò)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，即能求出齒輪的齒形誤差值。求解齒形誤差的算法有多種，本文給出一種精確求解齒形誤差的新算法。
　　1．漸開(kāi)線(xiàn)的齒廓方程與法線(xiàn)方程
　　如圖1所示，假設(shè)漸開(kāi)線(xiàn)的起點(diǎn)A位于x軸上，在直角坐標(biāo)系0-xy中，漸開(kāi)線(xiàn)方程為

?。?FONT face="Times New Roman">1）

 

圖1　漸開(kāi)線(xiàn)齒廓

式中　φ——展開(kāi)角
　　　r_b——基圓半徑
　　直角坐標(biāo)法測(cè)量齒輪廓時(shí)，式（1）是計(jì)算齒廓理論坐標(biāo)與控制測(cè)頭運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。
　　圖1中，B點(diǎn)為漸開(kāi)線(xiàn)法線(xiàn)與基圓的切點(diǎn)，其坐標(biāo)為（r_bcosφ，r_bsinφ）；直線(xiàn)的斜率為tg?。根據(jù)漸開(kāi)線(xiàn)的性質(zhì)，與垂直，因此，直線(xiàn)的斜率為－1／tgφ，則過(guò)B點(diǎn)的漸開(kāi)線(xiàn)的法線(xiàn)BK的方程為

化簡(jiǎn)得

xcosφ＋ysinφ－r_b＝0　　　（2）

　　2．齒形誤差計(jì)算
　　由于制造與安裝誤差的影響，齒輪的實(shí)際齒廓總是存在誤差。通過(guò)測(cè)量獲得實(shí)際齒廓上一系列點(diǎn)的坐標(biāo)，這些坐標(biāo)的集合｛（x_i，y_i）｜i＝1，2，…，n｝代表了齒輪的實(shí)際齒廓。如圖2所示，假設(shè)被測(cè)點(diǎn)P位于漸開(kāi)線(xiàn)的法線(xiàn)BK上，則P點(diǎn)的坐標(biāo)（x_p，y_p）滿(mǎn)足方程（2），即

x_pcosφ_p＋y_psinφ_p－r_b＝0　　　　（3）

由上式可求出

　　?。?FONT face="Times New Roman">4）

圖2　實(shí)際齒廓

　　根據(jù)GB10095-88的規(guī)定，應(yīng)在漸開(kāi)線(xiàn)的法向方向評(píng)定齒形誤差。P點(diǎn)的法向誤差err（i）為

　?。?FONT face="Times New Roman">5）

其中　　

BK＝BA＝r_bφ_p

因此

　　?。?FONT face="Times New Roman">6）

如果第i個(gè)齒面測(cè)量了n個(gè)點(diǎn)，則該齒的齒形誤差為

　　?。?FONT face="Times New Roman">7）

如果一個(gè)齒測(cè)量了m個(gè)齒，則該齒輪的齒形誤差為　　

　?。?FONT face="Times New Roman">8）

　　齒形誤差的求解過(guò)程如圖3所示。

圖3　齒形誤差求解過(guò)程

　　3．算例與說(shuō)明
　　測(cè)量一個(gè)模數(shù)m＝3mm、齒數(shù)Z＝40、壓力角α＝20°的直齒輪。現(xiàn)測(cè)量該齒輪的某一齒廓，共測(cè)量了不均勻分布于齒面的16個(gè)點(diǎn)，測(cè)量結(jié)果列于下表。該表同時(shí)給出了根據(jù)本算法計(jì)算出的每點(diǎn)誤差值及該齒的齒形誤差值。

表　　　　　　　mm　　　　　　　　　　

序號(hào)	x	y	err
1	56．4090	?。?FONT face="Times New Roman">0．0034	0．004
2	56．4914	－0．0034	0．008
3	56．6274	0．0104	0．005
4	56．8178	0．0363	0．000
5	57．0611	0．0749	－0．004
6	57．3574	0．1273	－0．005
7	57．7059	0．1980	－0．004
8	58．1062	0．2893	0．000
9	58．5563	0．4074	0．004
10	59．0547	0．5564	0．007
11	59．5988	0．7423	0．006
12	60．1862	0．9688	0．000
13	60．8180	1．2315	－0．003
14	61．4920	1．5343	－0．004
15	62．2077	1．8773	0．000
16	62．9600	2．2697	0．002
Δff＝0．008－（－0．005）＝0．013

對(duì)于本文給出的齒形誤差計(jì)算方法，有兩點(diǎn)應(yīng)予說(shuō)明： 　?。?FONT face="Times New Roman">1）本算法不僅適用于直齒輪的齒形誤差計(jì)算，也適用于斜齒輪的齒形誤差計(jì)算； 　?。?FONT face="Times New Roman">2）當(dāng)用球形測(cè)頭測(cè)量齒形誤差時(shí)，本算法能方便地修正測(cè)頭半徑的影響。其方法是將測(cè)頭的球心坐標(biāo)值直接代入相關(guān)公式計(jì)算，只需在式（5）中減去球形測(cè)頭的半徑值即可。